Definisi dan Aksioma Aljabar Boolean

Aljabar boolean adalah sistem aljabar yang berisi himpunan S dengan dua operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) yang didefinisikan pada himpunan, sehingga setiap elemen a, b, dan c dari S mempunyai sifat-sifat atau aksioma-aksioma berikut:
Aksioma-aksioma


1. a + b C S (tertutup)

2. a.b C S (tertutup)

3. a + (b + c) = (a + b) + c (asosiatif)

4. a.(b.c) = (a.b).c (asosiatif)

5. Jika 0 C S maka untuk setiap a C S, adalah a + 0 = 0 + a = a (identitas)

6. Jika 1 C S maka untuk setiap a C S, adalah a.1 = 1.a = a (identitas)

7. a + b = b + a (komutatif)

8. a.b = b.a (komutatif)

9. a.(b + c) = a.b + a.c (distributif)

10. (a + b).c = a.c + b.c (distributif)

11. a + (b.c) = (a + b).(a + c) (distributif)

12. (a.b) + c = (a + c).(b + c) (distributif)

13. untuk setiap a C S, dan a’ C S, maka a + a’ = 1 dan a.a’ = 0

Prinsip Dualitas

Teorema 1
Untuk setiap elemen a, berlaku:
a + a = a dan a.a = a

Teorema 2
Untuk setiap elemen a, berlaku:
a + 1 = 1 dan a.0 = 0

Teorema 3
Untuk setiap elemen a dan b, berlaku:
a + a.b = a dan a(a + b) = a
(disebut hukum penyerapan)

Teorema 4
Untuk setiap elemen a dan b, berlaku:
(a.b)’ = a’ + b’ dan (a + b)’ = a’.b’
(disebut hukum de Morgan)

Teorema 5
0’ = 1 dan 1’ = 0
Teorema 6
Jika suatu aljabar Boolean berisi paling sedikit dua elemen yang berbeda, maka 0 ≠ 1

Pembuktian Rumus Dualitas
Pembuktian rumus dualitas dilakukan berdasar aksioma dan sifat dari aljabar Boolean, yaitu:

1a. Pernyataan a + a = a
Bukti:
a+a = (a+a)(1) (identitas)
= (a+a)(a+a’) (komplemen)
= a + (a.a’) (distributif)
= a + 0 (komplemen)
= a (identitas)

1b. Pernyataan: a.a = a
Bukti
a.a = a.a + 0 (identitas)
= a.a +a.a’ (komplemen)
= a (a + a’) (distribusi)
= a.1 (komplemen)
= a (identitas)

2a. Pernyataan: a + 1 = 1
Bukti
a + 1 = a + (a + a’) (komplemen)
= (a + a) + a’ (asosiatif)
= a + a’ (teorema 1a)
= 1 (komplemen)

2b. Pernyataan: a.0 = 0
Bukti
a.0 = a.(a.a’) (komplemen)
= (a.a).a’ (asosiatif)
= a.a’ (idempoten)
= 0 (komplemen)

3a. Pernyataan: a + a.b =a
Bukti
A + a.b = a.1 + a.b (identitas)
= a(1 + b) (distributif)
= a.1 (teorema 2a)
= a (identitas)

3b. Pernyataan: a.(a + b) = a
Bukti
a.(a + b) = a.a + a.b (distributif)
= a + a.b (idempoten)
= a.1 + a.b (identitas)
= a.(1 + b) (distributif)
= a.1 (teorema 2a)
= a (identitas)

4a. Pernyataan: (a.b)’ = a’ + b’
diketahui : (ab)(ab)’ = 0
diperlihatkan : (ab)(a’ + b’) = 0
Bukti
(ab)(a’ + b’) = aba’ + abb’ (distributif)
= 0.b +a.0 (komplemen)
= 0 + 0 (teorema 2b)
= 0 (identitas)

4b. Pernyataan: (a + b)’ = a’b’
diketahui : (a + b) + (a + b)’ = 1
diperlihatkan: (a + b) + a’b’ = 1
Bukti
(a+b) + a’b’ = (a+b+a’).(a+b+b’) (distributif)
= (1 + b).(a + 1) (komplemen)
= 1.1 (teorema 2a)
= 1 (identitas)